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全国2011年10月自考线性代数试题(课程代码:02198)

2014-09-17 10:35来源:重庆自考网

全国2011年10月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码:02198
说明:在本卷中,AT表示矩阵 的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E表示单位矩阵,                        表示方阵A的行列式,r(A)表示矩阵A的秩。
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A的行列式为2,则 =(   )
A.  B.
C.   D.1
2.设A为n阶方阵,将A的第1列与第2列交换得到方阵B,若 ,则必有(   )
A.   B. 
C.   D. 
3.设 ,则方程 的根的个数为(   )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
4.设A为n阶方阵,则下列结论中不正确的是(   )
A. ATA是对称矩阵 B. AAT是对称矩阵
C. E+AT是对称矩阵 D. A+AT是对称矩阵
5.设 ,其中 ,则矩阵A的秩为(   )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
6.设6阶方阵A的秩为4,则A的伴随矩阵 的秩为(   )
A. 0 B. 2
C. 3 D. 4
7.设向量α=(1,-2,3)与β=(2,k,6)正交,则数k为(   )
A. -10 B. -4
C. 4 D. 10
8.设3阶方阵A的特征多项式为 ,则 =(   )
A. -18 B. -6
C. 6 D. 18
9.已知线性方程组 无解,则数a=(   )
A.  B. 0
C.  D. 1
10.设二次型 正定,则数a的取值应满足(   )
A.a>9 B. 3≤a≤9
C.-3<a<3 D. a≤-3
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设行列式 ,其第3行各元素的代数余子式之和为¬¬¬____________.
12.设 则 ____________.
13设线性无关的向量组 …, 可由向量组 … 线性表示,则r与s的关系为____________.
14.设A是4×3矩阵且 ,则r(AB)= ____________.
15.已知向量组 的秩为2,则数t=____________.
16.设4元线性方程组Ax=b的三个解为α1,α2 ,α3,已知α1=(1,2,3,4)T, α2 +α3=(3,5,7,9)T,r(A)=3.则方程组的通解是____________.
17. 设方程组 有非零解,且数λ<0,则λ=____________.
18.设矩阵 有一个特征值 ,对应的特征向量为 ,则数a=____________.
19.设3阶方阵A的秩为2,且 ,则A的全部特征值为____________.
20.设实二次型 ,已知A的特征值为-1,1,2,则该二次型的规范形为____________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算行列式 的值.
22.解矩阵方程
23.设向量 ,问p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.
24.设3元线性方程组 ,
(1)确定当λ取何值时,方程组有惟一解、无解、有无穷多解?
(2)当方程组有无穷多解时,求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)
25.求矩阵 的全部特征值及其对应的全部特征向量.
26.用配方法化二次型 为标准形,并写出所作的可逆线性变换.
四、证明题(本题6分)
27.设A是m×n实矩阵,n<m,且线性方程组Ax=b有惟一解.证明ATA是可逆矩阵.

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