全国2011年10月自考线性代数试题（课程代码：02198）

说明：在本卷中，AT表示矩阵 的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，                        表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A的行列式为2，则 =（   ）
A.  B.
C.   D.1
2.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若 ,则必有（   ）
A.   B. 
C.   D. 
3.设 ，则方程 的根的个数为（   ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
4.设A为n阶方阵，则下列结论中不正确的是（   ）
A. ATA是对称矩阵 B. AAT是对称矩阵
C. E+AT是对称矩阵 D. A+AT是对称矩阵
5.设 ，其中 ,则矩阵A的秩为（   ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵 的秩为（   ）
A. 0 B. 2
C. 3 D. 4
7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（   ）
A. -10 B. -4
C. 4 D. 10
8.设3阶方阵A的特征多项式为 ，则 =（   ）
A. -18 B. -6
C. 6 D. 18
9.已知线性方程组 无解，则数a=(   )
A.  B. 0
C.  D. 1
10.设二次型 正定，则数a的取值应满足（   ）
A.a＞9 B. 3≤a≤9
C.-3＜a＜3 D. a≤-3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设行列式 ，其第3行各元素的代数余子式之和为¬¬¬____________.
12.设 则 ____________.
13设线性无关的向量组 …， 可由向量组 … 线性表示，则r与s的关系为____________.
14.设A是4×3矩阵且 ，则r(AB)= ____________.
15.已知向量组 的秩为2，则数t=____________.
16.设4元线性方程组Ax=b的三个解为α1，α2 ，α3，已知α1=(1,2,3,4)T, α2 +α3=（3，5，7，9）T，r(A)=3.则方程组的通解是____________.
17. 设方程组 有非零解，且数λ＜0，则λ=____________.
18.设矩阵 有一个特征值 ，对应的特征向量为 ，则数a=____________.
19.设3阶方阵A的秩为2，且 ,则A的全部特征值为____________.
20.设实二次型 ，已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为____________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式 的值.
22.解矩阵方程
23.设向量 ,问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.
24.设3元线性方程组 ，
（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）
25.求矩阵 的全部特征值及其对应的全部特征向量.
26.用配方法化二次型 为标准形，并写出所作的可逆线性变换.
四、证明题（本题6分）
27.设A是m×n实矩阵，n＜m，且线性方程组Ax=b有惟一解.证明ATA是可逆矩阵.

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全国2011年10月自考线性代数试题（课程代码：02198）