全国2009年4月自考（课程代码：02324）离散数学试题
全国2009年4月高等教育自学考试
离散数学试题
课程代码：02324
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．下列为两个命题变元P，Q的小项是（ ）
A．P∧Q∧ P B． P∨Q C． P∧Q D． P∨P∨Q
2．下列语句中是真命题的是（ ）
A．我正在说谎 B．严禁吸烟
C．如果1+2=3，那么雪是黑的 D．如果1+2=5，那么雪是黑的
3．设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（ ）
A． P∧ Q B． P∨ Q C．（PQ） D．（ P∨ Q）
4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（ ）
A．矛盾式 B．蕴含式 C．重言式 D．等价式
5．命题公式（P∧Q）→R的成真指派是（ ）
A．000，001，110， B．001，011，101，110，111 C．全体指派 D．无
6．在公式（ ）F（x，y）→（ y）G（x，y）中变元x是（ ）
A．自由变元 B．约束变元
C．既是自由变元，又是约束变元 D．既不是自由变元，又不是约束变元
7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={<x，y>|x+y=10，x∈A，y∈A}，则R的性质是（ ）
A．自反的 B．对称的 C．传递的、对称的 D．反自反的、传递的
8．若R和S是集合A上的两个关系，则下述结论正确的是（ ）
A．若R和S是自反的，则R∩S是自反的 B．若R和S是对称的，则R S是对称的
C．若R和S是反对称的，则R S是反对称的 D．若R和S是传递的，则R∪S是传递的
9．R={<1，4>，<2，3>，<3，1>，<4，3>}，则下列不是t（R）中元素的是（ ）
A．<1，1> B．<1，2> C．<1，3> D．<1，4>
10．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（ ）
A．1∈A B．{1，2，3} A C．{{4，5}} A D．∈A
11．在自然数集N上，下列运算是可结合的是（ ）
A．a b=a-2b B．a b=min{a，b} C．a b=-a-b D．a b=|a-b|
12．在代数系统中，整环和域的关系是（ ）
A．整环一定是域 B．域不一定是整环 C．域一定是整环 D．域一定不是整环
13．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（ ）
A． B． C． D．
14．设G为有n个结点的简单图，则有（ ）
A．Δ(G)＜n B．Δ(G)≤n C．Δ(G)＞n D．Δ(G)≥n
15．具有4个结点的非同构的无向树的数目是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
16．（ x）（ y）（P（x，y） Q（y，z））∧ xP（x，y）中 x的辖域为________， x的辖域为________。
17．两个重言式的析取是________式，一个重言式与一个矛盾式的析取是________式。
18．设N是自然数集合，f和g是N到N的函数，且f（n）=2n+1，g（n）=n2，那么复合函数（f f）（n）=________（g f）（n）=________。
19．设复合函数g f是从A到C的函数，如果g f是满射，那么________必是满射，如果g f是入射，那么________必是入射。
20．设A={1，2}，B={2，3}，则A-A=________，A-B=________。
21．设S是非空有限集，代数系统<P（S），∪>中，其中P（S）为集合S的幂集，则P（S）对∪运算的单位元是________，零元是________。
22．在<Z6,○+>中，2的阶是________。
23．设<A，≤>是格，其中A={1，2，3，4，6，8，12，24}，≤为整除关系，则3的补元是________。
24．在下图中，结点v2的度数是________。
25．设图D=<V，E>，V={v1，v2，v3，v4}，若D的邻接矩阵A= ，则deg-（v1）=________，从v2到v4长度为2的路有________条。
三、计算题（本大题共5小题，第26、27小题各5分，第28、29小题各6分，第30小题8分，共30分）
26．已知A={{}，{，1}}，B={{，1}，{1}}，计算A∪B，A○+B，A的幂集P（A）。
27．构造命题公式（（P∧Q）→P）∨R的真值表。
28．下图给出了一个有向图。（1）求出它的邻接矩阵A；（2）求出A2，A3，A4及可达矩阵P。
29．求下列公式的主合取范式和主析取范式：P∨（ P→（Q∨（ Q→R）））
30．设A={1，2，3，4，6，8，12，24}，R为A上的整除关系，试画<A，R>的哈斯图，并求A中的最大元、最小元、极大元、极小元。
四、证明题（本大题共3小题，第31、32小题各6分，第33小题8分，共20分）
31．在整数集Z上定义： ，证明：<Z， >是一个群。
32．R是集合A上自反和传递的关系，试证明：R R=R。
33．证明：边e是图G的一条割边，当且仅当图G中不存在包含边e的简单回路。
五、应用题（本大题共2小题，第34小题6分，第35小题9分，共15分）
34．构造下面推理的证明。
如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去。
35．今有n个人，已知他们中任何2人的朋友合起来一定包含其余n-2人。试证明：
（1）当n≥3时，这n个人能排成一列，使得中间任何人是其两旁的人的朋友，而两头的人是其左边（或右边）的人的朋友。
（2）当n≥4时，这n个人能排成一圆圈，使得每个人是其两旁的人的朋友。
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离散数学试题
课程代码：02324
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．下列为两个命题变元P，Q的小项是（ ）
A．P∧Q∧ P B． P∨Q C． P∧Q D． P∨P∨Q
2．下列语句中是真命题的是（ ）
A．我正在说谎 B．严禁吸烟
C．如果1+2=3，那么雪是黑的 D．如果1+2=5，那么雪是黑的
3．设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（ ）
A． P∧ Q B． P∨ Q C．（PQ） D．（ P∨ Q）
4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（ ）
A．矛盾式 B．蕴含式 C．重言式 D．等价式
5．命题公式（P∧Q）→R的成真指派是（ ）
A．000，001，110， B．001，011，101，110，111 C．全体指派 D．无
6．在公式（ ）F（x，y）→（ y）G（x，y）中变元x是（ ）
A．自由变元 B．约束变元
C．既是自由变元，又是约束变元 D．既不是自由变元，又不是约束变元
7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={<x，y>|x+y=10，x∈A，y∈A}，则R的性质是（ ）
A．自反的 B．对称的 C．传递的、对称的 D．反自反的、传递的
8．若R和S是集合A上的两个关系，则下述结论正确的是（ ）
A．若R和S是自反的，则R∩S是自反的 B．若R和S是对称的，则R S是对称的
C．若R和S是反对称的，则R S是反对称的 D．若R和S是传递的，则R∪S是传递的
9．R={<1，4>，<2，3>，<3，1>，<4，3>}，则下列不是t（R）中元素的是（ ）
A．<1，1> B．<1，2> C．<1，3> D．<1，4>
10．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（ ）
A．1∈A B．{1，2，3} A C．{{4，5}} A D．∈A
11．在自然数集N上，下列运算是可结合的是（ ）
A．a b=a-2b B．a b=min{a，b} C．a b=-a-b D．a b=|a-b|
12．在代数系统中，整环和域的关系是（ ）
A．整环一定是域 B．域不一定是整环 C．域一定是整环 D．域一定不是整环
13．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（ ）
A． B． C． D．
14．设G为有n个结点的简单图，则有（ ）
A．Δ(G)＜n B．Δ(G)≤n C．Δ(G)＞n D．Δ(G)≥n
15．具有4个结点的非同构的无向树的数目是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
16．（ x）（ y）（P（x，y） Q（y，z））∧ xP（x，y）中 x的辖域为________， x的辖域为________。
17．两个重言式的析取是________式，一个重言式与一个矛盾式的析取是________式。
18．设N是自然数集合，f和g是N到N的函数，且f（n）=2n+1，g（n）=n2，那么复合函数（f f）（n）=________（g f）（n）=________。
19．设复合函数g f是从A到C的函数，如果g f是满射，那么________必是满射，如果g f是入射，那么________必是入射。
20．设A={1，2}，B={2，3}，则A-A=________，A-B=________。
21．设S是非空有限集，代数系统<P（S），∪>中，其中P（S）为集合S的幂集，则P（S）对∪运算的单位元是________，零元是________。
22．在<Z6,○+>中，2的阶是________。
23．设<A，≤>是格，其中A={1，2，3，4，6，8，12，24}，≤为整除关系，则3的补元是________。
24．在下图中，结点v2的度数是________。
25．设图D=<V，E>，V={v1，v2，v3，v4}，若D的邻接矩阵A= ，则deg-（v1）=________，从v2到v4长度为2的路有________条。
三、计算题（本大题共5小题，第26、27小题各5分，第28、29小题各6分，第30小题8分，共30分）
26．已知A={{}，{，1}}，B={{，1}，{1}}，计算A∪B，A○+B，A的幂集P（A）。
27．构造命题公式（（P∧Q）→P）∨R的真值表。
28．下图给出了一个有向图。（1）求出它的邻接矩阵A；（2）求出A2，A3，A4及可达矩阵P。
29．求下列公式的主合取范式和主析取范式：P∨（ P→（Q∨（ Q→R）））
30．设A={1，2，3，4，6，8，12，24}，R为A上的整除关系，试画<A，R>的哈斯图，并求A中的最大元、最小元、极大元、极小元。
四、证明题（本大题共3小题，第31、32小题各6分，第33小题8分，共20分）
31．在整数集Z上定义： ，证明：<Z， >是一个群。
32．R是集合A上自反和传递的关系，试证明：R R=R。
33．证明：边e是图G的一条割边，当且仅当图G中不存在包含边e的简单回路。
五、应用题（本大题共2小题，第34小题6分，第35小题9分，共15分）
34．构造下面推理的证明。
如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去。
35．今有n个人，已知他们中任何2人的朋友合起来一定包含其余n-2人。试证明：
（1）当n≥3时，这n个人能排成一列，使得中间任何人是其两旁的人的朋友，而两头的人是其左边（或右边）的人的朋友。
（2）当n≥4时，这n个人能排成一圆圈，使得每个人是其两旁的人的朋友。
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