全国2012年1月自考线性代数试题（课程代码：02198）

全国2012年1月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198


一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．若矩阵A满足A2-5A=E，则矩阵（A-5E）-1=（      ）
A.A-5E B.A+5E
C.A D.-A
2.设矩阵A是2阶方阵,且det(A)=3,则det(5A)=(      )
A.3 B.15
C.25 D.75
3.设矩阵A,B,X为同阶方阵,且A,B可逆,若A(X-E)B=B,则矩阵X=(      )
A.E+A-1 B.E+A
C.E+B-1 D.E+B
4.设矩阵A1,A2均为可逆方阵,则以下结论正确的是(      )

5.设α1,α2,…,αk是n维列向量,则α1,α2,…αk线性无关的充分必要条件是(      )
A.向量组α1,α2,…,αk中任意两个向量线性无关
B.存在一组不全为0的数l1,l2,…,lk,使得l1α1+l2α2+…+lkαk≠0
C.向量组α1,α2,…,αk中存在一个向量不能由其余向量线性表示
D. 向量组α1,α2,…,αk中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
6.设α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),其中a1,a2,a3不全为0,且b1,b2,b3不全为0,则αTβ的秩为(      )
A.0 B.1
C.2 D.3
7.设矩阵A= ,则与矩阵A相似的矩阵是(      )
A.  B. 
C.   D. 
8.设三阶方阵A的特征值分别为 ,则A-1的特征值为(      )
A.2,4,  B.  ,
C.   D.2,4,3
9.二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3)2的矩阵是(      )
A.  B. 
C.   D. 
10.以下关于正定矩阵叙述正确的是(      )
A.正定矩阵的特征值一定大于零
B. 正定矩阵的行列式一定小于零
C. 正定矩阵的乘积一定是正定矩阵
D. 正定矩阵的差一定是正定矩阵
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det(A)=-1, det(B)=2,且A，B为同阶方阵，则det(（AB）3)=_________.
12. 设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=_________.
13. 设方阵A的行列式为5，P为可逆矩阵，则det（P-1AP）=_________.
14. 设α1=（1，0，1），α2=（1，1，1），α3=（0，-1，-1）则-11α1+14α2+9α3=_________.
15. 实数向量空间V= 的维数是_________.
16.设3阶矩阵A= ,B为3阶非零矩阵,且AB=0,则t= _________.
17.设α是齐次线性方程组Ax=0的解,而β是非齐次线性方程组Ax=b的解,则A(3α+2β)=_________.
18.设方阵A有一个特征值为-8,则det(8E+A) _________.
19. 设P为n阶正交矩阵,x是n维单位长的列向量,则 =_________.
20. 二次型f(x1,x2,x3)= 的正惯性指数为_________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式 .
22．求矩阵A= 的逆矩阵.
23．设向量组α1=(3,1,2,0), α2=(0,7,1,3), α3=(-1,2,0,1), α4=(6,9,4,3),求其一个最大无关组，并将其余向量通过该最大无关组表示出来.
24．求齐次线性方程组 的基础解系及其结构解.
25．设三阶矩阵A= ，求矩阵A的特征值和特征向量.
26．令f(x1,x2,x3)= ,写出该二次型对应的矩阵，并判断该二次型是否正定。
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设方阵A满足Ak=0，对某个正整数k成立.证明：A的特征值一定为0.

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