全国2012年1月自考线性代数（经管类）试题（课程代码：04184）

全国2012年1月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，|| ||表示向量 的长度， T表示向量 的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设行列式 =2，则 =（      ）
A．-6 B．-3
C．3 D．6
2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（      ）
A．E+A-1 B．E-A
C．E+A D．E-A-1
3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（      ）
A． 可逆，且其逆为  B． 不可逆
C． 可逆，且其逆为  D． 可逆，且其逆为
4．设 1， 2，…， k是n维列向量，则 1， 2，…， k线性无关的充分必要条件是（      ）
A．向量组 1， 2，…， k中任意两个向量线性无关
B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l1 1+l2 2+…+lk k≠0
C．向量组 1， 2，…， k中存在一个向量不能由其余向量线性表示
D．向量组 1， 2，…， k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5．已知向量 则 =（      ）
A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T
C．（1，-1，-2，0）T D．（2，-6，-5，-1）T
6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（      ）
A．1 B．2
C．3 D．4
7．设 是非齐次线性方程组Ax=b的解， 是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是（      ）
A． + 是Ax=0的解 B． + 是Ax=b的解
C． - 是Ax=b的解 D． - 是Ax=0的解
8．设三阶方阵A的特征值分别为 ，则A-1的特征值为（      ）
A．  B．
C．  D．2,4,3
9．设矩阵A= ，则与矩阵A相似的矩阵是（      ）
A．  B．
C．  D．
10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（      ）
A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B．正定矩阵的行列式一定小于零
C．正定矩阵的行列式一定大于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB)3)=__________．
12．设3阶矩阵A= ，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________．
13．设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=__________．
14．实向量空间Rn的维数是__________．
15．设A是m×n矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________．
16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．
17．设 是齐次线性方程组Ax=0的解，而 是非齐次线性方程组Ax=b的解，则 =__________．
18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．
19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．
20．二次型 的正惯性指数是__________．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式 ．
22．设矩阵A= ，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B．
23．设向量组 求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．
24．设三阶矩阵A= ，求矩阵A的特征值和特征向量．

25．求下列齐次线性方程组的通解．

26．求矩阵A= 的秩．
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设三阶矩阵A= 的行列式不等于0，证明：
线性无关．

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