全国2009年4月自考（课程代码：02198）线性代数试题
全国2009年4月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵， 表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．3阶行列式 中元素a21的代数余子式A21=（ ）
A．-2 B．-1
C．-1 D．2
2．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（ ）
A．A-1C-1 B．C-1A-1
C．AC D．CA
3．设3阶矩阵A= ，则A2的秩为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
4．设矩阵A= ，B= ，P1= ，P2= ，则必有（ ）
A．P1P2A=B B．P2P1A=B
C．AP1P2=B D．AP2P1=B
5．设向量组α1, α2, α3, α4线性相关，则向量组中（ ）
A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
6．设α1, α2, α3, α4是一个4维向量组，若已知α4可以表为α1, α2, α3,的线性组合，且表示法惟一，则向量组α1, α2, α3, α4的秩为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
7．设α1, α2, α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ）
A．α1, α2, α1+α2 B．α1, α2, α1-α2
C．α1+α2, α2+α3, α3+α1 D．α1-α2，α2-α3，α3-α1
8．设A为3阶矩阵，且 =0，则A必有一个特征值为（ ）
A．- B．-
C． D．
9．设实对称矩阵A= ，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的规范形为（ ）
A． + + B． + -
C． + D． -
10．设2元二次型f(x1,x2)=xTAx正定，则矩阵A可取为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=___________。
12.已知3阶行列式 =6，则 =___________。
13.设A= ，则A2-2A+E=___________。
14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B= ，则A=___________。
15.设3阶矩阵A= ，则A-1=___________。
16.设向量组a1=(a,1,1),a2=(1,-2,1),a3=(1,1,-2),线性相关，则数a=___________。
17.3元齐次线性方程组 的基础解系中所含解向量的个数为___________。
18.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则 =___________。
19.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为α1=(1,1)T，α2=(1,k)T，则数k=___________。
20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=___________。
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算4阶行列式 .
22.设2阶矩阵A= ，P= ，矩阵B满足关系式PB=A*P，计算行列式 .
23.求向量组α1=(1,1,1,3)T，α2=(-1,-3,5,1)T，α3=(3,2,-1,4)T，α4=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表示.
24.设3元齐次线性方程组
（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；
（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.
25.设矩阵B= ，
（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；
（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵∧和可逆矩阵P，使P-1BP=∧.
26.设3元二次型f(x1,x2,x3)= + + -2x1x2-2x2x3，求正交变换x=Py，将二次型化为标准形.
四、证明题（本大题6分）
27.设矩阵A= ，其中a1,a2,a3互不相同，证明：与A可交换的矩阵只能为对角矩阵.
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线性代数试题
课程代码：02198
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵， 表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．3阶行列式 中元素a21的代数余子式A21=（ ）
A．-2 B．-1
C．-1 D．2
2．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（ ）
A．A-1C-1 B．C-1A-1
C．AC D．CA
3．设3阶矩阵A= ，则A2的秩为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
4．设矩阵A= ，B= ，P1= ，P2= ，则必有（ ）
A．P1P2A=B B．P2P1A=B
C．AP1P2=B D．AP2P1=B
5．设向量组α1, α2, α3, α4线性相关，则向量组中（ ）
A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
6．设α1, α2, α3, α4是一个4维向量组，若已知α4可以表为α1, α2, α3,的线性组合，且表示法惟一，则向量组α1, α2, α3, α4的秩为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
7．设α1, α2, α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ）
A．α1, α2, α1+α2 B．α1, α2, α1-α2
C．α1+α2, α2+α3, α3+α1 D．α1-α2，α2-α3，α3-α1
8．设A为3阶矩阵，且 =0，则A必有一个特征值为（ ）
A．- B．-
C． D．
9．设实对称矩阵A= ，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的规范形为（ ）
A． + + B． + -
C． + D． -
10．设2元二次型f(x1,x2)=xTAx正定，则矩阵A可取为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=___________。
12.已知3阶行列式 =6，则 =___________。
13.设A= ，则A2-2A+E=___________。
14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B= ，则A=___________。
15.设3阶矩阵A= ，则A-1=___________。
16.设向量组a1=(a,1,1),a2=(1,-2,1),a3=(1,1,-2),线性相关，则数a=___________。
17.3元齐次线性方程组 的基础解系中所含解向量的个数为___________。
18.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则 =___________。
19.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为α1=(1,1)T，α2=(1,k)T，则数k=___________。
20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=___________。
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算4阶行列式 .
22.设2阶矩阵A= ，P= ，矩阵B满足关系式PB=A*P，计算行列式 .
23.求向量组α1=(1,1,1,3)T，α2=(-1,-3,5,1)T，α3=(3,2,-1,4)T，α4=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表示.
24.设3元齐次线性方程组
（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；
（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.
25.设矩阵B= ，
（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；
（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵∧和可逆矩阵P，使P-1BP=∧.
26.设3元二次型f(x1,x2,x3)= + + -2x1x2-2x2x3，求正交变换x=Py，将二次型化为标准形.
四、证明题（本大题6分）
27.设矩阵A= ，其中a1,a2,a3互不相同，证明：与A可交换的矩阵只能为对角矩阵.
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