全国2008年7月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码:02198
试卷说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示A的伴随矩阵;秩(A)表示矩阵A的秩;|A|表示A的行列式;E表示单位矩阵。
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A=[α1,α2,α3],其中αi(i=1,2,3)为A的列向量,且|A|=2,则
|B|=|[α1+3α2,α2,α3]|=( )
A.-2 B.0
C.2 D.6
2.若方程组 有非零解,则k=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
3.设A,B为同阶可逆方阵,则下列等式中错误的是( )
A.|AB|=|A||B| B.(AB)-1=B-1A-1
C.(A+B)-1=A-1+B-1 D.(AB)T=BTAT
4.设A为三阶矩阵,且|A|=2,则|(A*)-1|=( )
A. B.1
C.2 D.4
5.已知向量组A:α1,α2,α3,α4中α2,α3,α4线性相关,那么( )
A.α1,α2,α3,α4线性无关 B.α1,α2,α3,α4线性相关
C.α1可由α2,α3,α4线性表示 D.α3,α4线性无关
6.向量组α1,α2,…αs的秩为r,且r<s,则( )
A.α1,α2,…αs线性无关
B.α1,α2,…αs中任意r个向量线性无关
C.α1,α2,…αs中任意r+1个向量线性相关
D.α1,α2,…αs中任意r-1个向量线性无关
7.若A与B相似,则( )
A.A,B都和同一对角矩阵相似 B.A,B有相同的特征向量
C.A-λE=B-λE D.|A|=|B|
8.设α1,α2是Ax=b的解,η是对应齐次方程Ax=0的解,则( )
A.η+α1是Ax=0的解 B.η+(α1-α2)是Ax=0的解
C.α1+α2是Ax=b的解 D.α1-α2是Ax=b的解
9.下列矩阵为正交矩阵的是( )
A. B.
C. D.
10.设A= ,则二次型f (x1,x2)=xTAx是( )
A.正定 B负定
C.半正定 D.不定
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确安全。错填、不填均无分。
11.设A= ,B= ,则AB=________.
12.已知α=(1,2,3),则|αTα|=________.
13.设A= ,则A*=________.
14.设A为4×5的矩阵,且秩(A)=2,则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是________.
15.设有向量α1=(1,0,-2),α2=(3,0,7),α3=(2,0,6).则α1,α2,α3的秩是________.
16.方程x1-x2+x3=0的结构解是________.
17.设A满足3E+A-A2=0,则A-1=________.
18.设三阶方阵A的三个特征值为1,2,3.则|A+E|=________.
19.设α与β的内积(α,β)=2,||β||=2,则内积(2α+β,-β)=________.
20.矩阵A= 所对应的二次型是________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算6阶行列式
22.已知矩阵A= ,且ABA-1=BA-1+2E,求B.
23.求向量组α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7)的秩和其一个最大无关组.
24.当a,b为何值时,方程组 有无穷多解?并求出其结构解.
25.已知A= ,求其特征值与特征向量.
26.用正交变换化二次型f (x1, x2, x3)= 为标准型,并给出所用的正交变换.
四、证明题(本大题共1小题,6分)
27.已知向量组α1,α2,α3线性无关,且β1=α1-α2,β2=2α1+2α2+α3,β3=α1-α2+2α3.证明向量组β1,β2,β3线性无关.
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