全国2008年10月自考（考场代码：02198）线性代数试题
全国2008年10月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.已知矩阵A= ，B= ，则AB-BA=( )
A. B.
C. D.
2.设A为3阶方阵，且 ，则|A|=( )
A.-9 B.-3
C.-1 D.9
3.设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有( )
A.A=B B.A=-B
C.|A|=|B| D.|A|2=|B|2
4.设A、B均为n阶可逆矩阵，且AB=BA，则下列结论中，不正确的是( )
A.AB-1=B-1A B.B-1A=A-1B
C.A-1B-1=B-1A-1 D.A-1B=BA-1
5.设向量α1=（a1, b1, c1），α2=(a2, b2, c2)，β1=（a1, b1, c1, d1）,β2=(a2, b2, c2, d2)，下列命题中正确的是( )
A.若α1，α2线性相关，则必有β1，β2线性相关
B.若α1，α2线性无关，则必有β1，β2线性无关
C.若β1，β2线性相关，则必有α1，α2线性无关
D.若β1，β2线性无关，则必有α1，α2线性相关
6.设m×n矩阵A的秩r（A）=n-3(n>3)，α,β, 是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为( )
A.α,β,α+β B.β, ， -β
C.α-β,β- -α D.α,α+β,α+β+
7.已知 是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为( )
A.（5，-3，-1） B.
C. D.
8.设A为n（n≥2）阶矩阵，且A2=E，则必有( )
A.A的行列式等于1 B.A的逆矩阵等于E
C.A的秩等于n D.A的特征值均为1
9.设矩阵A= ，则A的特征值为( )
A.1，1，0 B.-1，1，1
C.1，1，1 D.1，-1，-1
10.已知矩阵A与对角矩阵D= 相似，则A2=( )
A.A B.D
C.E D.-E
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格上填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设矩阵A= ，则ATB=__________.
12.已知行列式 =0，则数a=__________.
13.已知向量组 的秩为2，则数t=__________.
14.设向量α=（2，-1， ，1），则α的长度为__________.
15.设向量组α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）与向量组β1，β2，β3等价，则向量组β1，β2，β3的秩为__________.
16.设方程组 有非零解，则数k=__________.
17.已知向量α=（1，-2，3，4）与β=（3，a，5，-7）正交，则数a=__________.
18.设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则r (A)=__________.
19.已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A*|=__________.
20.矩阵A= 对应的二次型f =__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式D= 的值.
22.已知A= ，矩阵X满足AXB=C，求解X.
23.设矩阵A= ，求可逆矩阵P和对角矩阵 ，使得P-1AP= .
24.设向量组α1,α2,α3线性无关，令β1=-α1+α3，β2=2α2-2α3，β3=2α1-5α2+3α3.试确定向量组β1，β2，β3的线性相关性.
25.已知线性方程组 ，
（1）讨论 为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.
（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.
26.设二次型f (x1, x2, x3)= ，确定常数a的最大取值范围使该二次型正定.
四、证明题（本大题6分）
27.已知矩阵A= ，证明存在数k，使A2=kA.
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线性代数试题
课程代码：02198
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.已知矩阵A= ，B= ，则AB-BA=( )
A. B.
C. D.
2.设A为3阶方阵，且 ，则|A|=( )
A.-9 B.-3
C.-1 D.9
3.设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有( )
A.A=B B.A=-B
C.|A|=|B| D.|A|2=|B|2
4.设A、B均为n阶可逆矩阵，且AB=BA，则下列结论中，不正确的是( )
A.AB-1=B-1A B.B-1A=A-1B
C.A-1B-1=B-1A-1 D.A-1B=BA-1
5.设向量α1=（a1, b1, c1），α2=(a2, b2, c2)，β1=（a1, b1, c1, d1）,β2=(a2, b2, c2, d2)，下列命题中正确的是( )
A.若α1，α2线性相关，则必有β1，β2线性相关
B.若α1，α2线性无关，则必有β1，β2线性无关
C.若β1，β2线性相关，则必有α1，α2线性无关
D.若β1，β2线性无关，则必有α1，α2线性相关
6.设m×n矩阵A的秩r（A）=n-3(n>3)，α,β, 是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为( )
A.α,β,α+β B.β, ， -β
C.α-β,β- -α D.α,α+β,α+β+
7.已知 是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为( )
A.（5，-3，-1） B.
C. D.
8.设A为n（n≥2）阶矩阵，且A2=E，则必有( )
A.A的行列式等于1 B.A的逆矩阵等于E
C.A的秩等于n D.A的特征值均为1
9.设矩阵A= ，则A的特征值为( )
A.1，1，0 B.-1，1，1
C.1，1，1 D.1，-1，-1
10.已知矩阵A与对角矩阵D= 相似，则A2=( )
A.A B.D
C.E D.-E
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格上填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设矩阵A= ，则ATB=__________.
12.已知行列式 =0，则数a=__________.
13.已知向量组 的秩为2，则数t=__________.
14.设向量α=（2，-1， ，1），则α的长度为__________.
15.设向量组α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）与向量组β1，β2，β3等价，则向量组β1，β2，β3的秩为__________.
16.设方程组 有非零解，则数k=__________.
17.已知向量α=（1，-2，3，4）与β=（3，a，5，-7）正交，则数a=__________.
18.设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则r (A)=__________.
19.已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A*|=__________.
20.矩阵A= 对应的二次型f =__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式D= 的值.
22.已知A= ，矩阵X满足AXB=C，求解X.
23.设矩阵A= ，求可逆矩阵P和对角矩阵 ，使得P-1AP= .
24.设向量组α1,α2,α3线性无关，令β1=-α1+α3，β2=2α2-2α3，β3=2α1-5α2+3α3.试确定向量组β1，β2，β3的线性相关性.
25.已知线性方程组 ，
（1）讨论 为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.
（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.
26.设二次型f (x1, x2, x3)= ，确定常数a的最大取值范围使该二次型正定.
四、证明题（本大题6分）
27.已知矩阵A= ，证明存在数k，使A2=kA.
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